Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，∠BAD=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD，E，F分別為AD，PC的中點．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB
（Ⅱ）求證：EF⊥平面PBD
（Ⅲ）若AB=2，求直線AD與平面PBD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明BD⊥AB，利用平面PAB⊥平面ABCD，可得BD⊥平面PAB；
（Ⅱ）設點G是PB的中點，連結AG，FG，證明AG∥EF，AG⊥平面PBD，即可證明EF⊥面PBD；
（Ⅲ）∠ADG就是直線AD與平面PBD所成的角，求出AG，AD，即可求直線AD與平面PBD所成的角的正弦值．

解答： （I）證明：設PA=PB=AB=

1

2

AD=1，則
BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos60°=3，
故BD²+AB²=AD²，∴BD⊥AB
而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴BD⊥平面PAB；              …（4分）
（II）證明：設點G是PB的中點，連結AG，FG，
則FG∥BC∥AE，FG=

1

2

BC=AE
∴四邊形AEFG是平行四邊形
故AG∥EF                   …（6分）
∵BD⊥平面PAB，∴平面PBD⊥平面PAB，
在正三角形PAB中，AG⊥PB，故AG⊥平面PBD，…（7分）
而AG∥EF，∴EF⊥平面PBD                …（8分）
（Ⅲ）解：連結GD，由（ II）知：AG⊥平面PBD，
故∠ADG就是直線AD與平面PBD所成的角          …（10分）
∵AB=2，AD=4，在正三角形PAB中，AG=

3

，
∴sin∠ADG=

AG

AD

=

3

4

，故所求角的正弦值為

3

4

 …（12分）

點評：本題考查空間幾何體中直線與平面平行的判定定理以及直線與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面所成角的求法，考查邏輯推理能力與計算能力．