Question

已知曲線y=

1

t-x

上兩點P（2，-1）、Q（-1，

1

2

）．求：
（1）曲線在點P處，點Q處的切線斜率；
（2）曲線在點P、Q處的切線方程．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的概念及應用

分析：（1）將P點坐標代入，可求出曲線方程，進而求出切線導函數的解析式，求出P，Q兩點的導函數值，可得曲線在點P處，點Q處的切線斜率；
（2）由（1）中切線的斜率，及切點坐標，代入直線的點斜式方程，可得答案．

解答： 解：（1）將P（2，-1）代入y=

1

t-x

得：-1=

1

t-2

，
解得t=1，
∴y=

1

1-x

，
∴y′=

1

(1-x)2

，
∵y′|_x=2=1，y′|_x=-1=

1

4

，
故曲線在點P處，點Q處的切線斜率分別為：1，

1

4

，
（2）由（1）得曲線在點P處的切線方程為：y+1=x-2，即x-y-3=0，
曲線在點Q處的切線方程為：y-

1

2

=

1

4

（x+1），即x-4y+3=0．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究曲線上某點切線方程，若函數f（x）的圖象在點A（x₀，f（x₀））處的切線斜率為k，則f'（x₀）=k．