Question

【題目】在數(shù)列中，若且則稱為“數(shù)列”.設(shè)為“數(shù)列”，記的前項(xiàng)和為

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）證明：中總有一項(xiàng)為或.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)遞推公式列出數(shù)列中的項(xiàng)，找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)周期性即可得到答案;

（2）根據(jù)題意分情況進(jìn)行求解即可得到答案;

（3）首先證明：一定存在某個(gè)，使得成立，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，中的各項(xiàng)依次為，

即數(shù)列從第四項(xiàng)開始每三項(xiàng)是一個(gè)周期，

所以，，

，

所以.

（2）① 若是奇數(shù)，則是偶數(shù)，，

由，得，解得，適合題意.

② 若是偶數(shù)，不妨設(shè)，則.

若是偶數(shù)，則，由，

得，此方程無(wú)整數(shù)解；

若是奇數(shù)，則，由，

得，此方程無(wú)整數(shù)解.

綜上，.

（3）首先證明：一定存在某個(gè)，使得成立.

否則，對(duì)每一個(gè)，都有，

則在為奇數(shù)時(shí)，必有；

在為偶數(shù)時(shí)，有，或.

因此，若對(duì)每一個(gè)，都有，則單調(diào)遞減，

注意到，顯然這一過(guò)程不可能無(wú)限進(jìn)行下去，

所以必定存在某個(gè)，使得成立.

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，或，或時(shí)，中出現(xiàn)；

當(dāng)時(shí)，中出現(xiàn)，

綜上，中總有一項(xiàng)為或.