Question

【題目】已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意實數對（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“垂直對點集”．給出下列四個集合： ①M={（x，y）|y= }；
②M={（x，y）|y=log2x}；
③M={（x，y）|y=2x﹣2}；
④M={（x，y）|y=sinx+1}．
其中是“垂直對點集”的序號是（ ）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意可得：集合M是“垂直對點集”，即滿足： 曲線y=f（x）上過任意一點與原點的直線，都存在過另一點與原點的直線與之垂直．
①M={（x，y）|y= }，其圖象向左向右和x軸無限接近，向上和y軸無限接近，
據冪函數的圖象和性質可知，
在圖象上任取一點A，連OA，過原點作OA的垂線OB必與y= 的圖象相交，
即一定存在點B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y= }是“垂直對點集”．
②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），
取（1，0），則不存在點（x2 ， log2x2）（x2＞0），滿足1×x2+0=0，
因此集合M不是“垂直對點集”；
對于③M={（x，y）|y=2x﹣2}，其圖象過點（0，﹣1），且向右向上無限延展，向左向下無限延展，
據指數函數的圖象和性質可知，
在圖象上任取一點A，連OA，過原點作OA的垂線OB必與y=2x﹣2的圖象相交，
即一定存在點B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直對點集”．
對于④M={（x，y）|y=sinx+1}，在圖象上任取一點A，
連OA，過原點作直線OA的垂線OB，因為y=sinx+1的圖象沿x軸向左向右無限延展，且與x軸相切，
因此直線OB總會與y=sinx+1的圖象相交．
所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直對點集”，故④符合；
綜上可得：只有①③④是“垂直對點集”．
故選：C
【考點精析】掌握命題的真假判斷與應用是解答本題的根本，需要知道兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．