Question

【題目】如圖，F1 ， F2分別是橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右焦點，且焦距為2 ，動弦AB平行于x軸，且|F1A|+|F1B|=4．

（1）求橢圓C的方程；
（2）若點P是橢圓C上異于點 、A，B的任意一點，且直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，若MF2、NF2的斜率分別為k1、k2 ， 求證：k1k2是定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵焦距2 ，∴2c=2 ，得c= ，

由橢圓的對稱性及已知得|F1A|=|F2B|，又∵|F1A|+|F1B|=4，|F1B|+|F2B|=4，

因此2a=4，a=2，于是b= ，因此橢圓方程為

（2）

解：設B（x0，y0），P（x1，y1），則A（﹣x0，y0），

直線PA的方程為 ，令x=0，得 ，

故M（0， ）；

直線PB的方程為 ，令x=0，得 ，

故N（0， ）；

∴ ， ，

因此 ．

∵A，B在橢圓C上，∴ ，

∴

【解析】（1）由題意焦距求得c，由對稱性結合|F1A|+|F1B|=4可得2a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）設B（x0 ， y0），P（x1 ， y1），則A（﹣x0 ， y0），分別寫出PA、PB所在直線方程，求出M、N的坐標，進一步求出MF2、NF2的斜率分別為k1、k2 ， 結合A、B在橢圓上可得k1k2是定值．