Question

已知橢圓

x2

3

+

y2

2

=1過左焦點的直線l的傾角為45°與橢圓相交于A，B兩點
（1）求AB的中點坐標；
（2）求△ABF₂的周長與面積．

Answer 1

分析：（1）先由橢圓方程確定焦點坐標，可得直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，可得中點M的坐標；
（2）求出F₂到直線距離，利用三角形的面積公式，可求面積，利用橢圓的定義可求周長．

解答：解：（1）由

x2

3

+

y2

2

=1知，a=

3

，b=

2

∴c=

a2-b2

=1
∴F₁（-1，0），F₂（1，0）
∴L的方程為y=x+1
代入橢圓方程可得5x²+6x-3=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（x₀，y₀）則x1+x2=-

6

5

，x1x2=-

3

5

∴x0=

x1+x2

2

=-

3

5

，y0=

y1+y2

2

=

x1+1+x2+1

2

=

x1+x2

2

+1=

2

5

∴中點坐標為M（-

3

5

，

2

5

）；
（2）F₂到直線距離d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

=

2

2

=

2

∴S_△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

×

8 3

5

×

2

=

4 6

5

 三角形周長l=4a=4

3

點評：本題考查橢圓的性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形的面積與周長，考查學生的計算能力，屬于中檔題．