Question

已知橢圓

x2

3

+

y2

4

=1的焦點F與拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點關于直線x-y=0對稱．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知定點A（a，b），B（-a，0）（ab≠0，b²≠4a），M是拋物線C上的點，設直線AM，BM與拋物線的另一交點為M₁，M₂．求證：當M點在拋物線上變動時（只要M₁，M₂存在且M₁≠M₂）直線M₁M₂恒過一定點，并求出這個定點的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意可知橢圓的a，b，求得c進而求得橢圓的焦點，利用點關于直線的對稱求得拋物線的焦點，求得p，則拋物線的方程可得．
（Ⅱ）設M，M₁，M₂的坐標由三點共線，利用斜率相等整理求得y₁與y₀的關系，同樣的道理可求得y₂與y₀的關系，設（x，y）是直線M₁，M₂上的任意一點，求得y₁y₂=y（y₁+y₂）-4x把y₁y₂代入整理，利用等式恒成立建立方程組求得x和y，進而可判斷出動直線M₁，M₂恒過定點．

解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=

3

，∴c=1
橢圓的焦點在y軸上，即F（0，1），F關于直線x-y=0對稱的點為（1，0）；
而拋物線的焦點坐標為（

p

2

，0）p=2，所以所求拋物線的方程為y²=4x
（Ⅱ）證明：設M，M₁，M₂的坐標分別為(

y0 2

4

，y0)，(

y1 2

4

，y1)，(

y2 2

4

，y2)
由A、M、M₁三點共線得：

y1 2 4 - y0 2 4

y1-y0

=

y0 2 4 -a

y0-b

，
化簡得y₁y₀=b（y₁+y₀）-4a，
∴y₁=

by0-4a

y0-b

；
同理，由B、M、M₂三點共線得：y₂=

4a

y0

設（x，y）是直線M₁，M₂上的任意一點，則y₁y₂=y（y₁+y₂）-4x；
把y₁y₂代入上式整理得：y₀²（4x-by）+4by₀（a-x）+4a（by-4a）=0；
由M是任意的，則有

4x-by=0 a-x=0 by-4a=0

?

x=a y= 4a b

，
所以動直線M₁，M₂恒過定點(a，

4a

b

)

點評：圓錐曲線和直線是解析幾何的主線，考查學生的運算能力是解析幾何的重要部分，特別是包含比較多字母的運算，同時也考查了“設而不求”的解題策略和數形結合的數學思想方法．