Question

已知橢圓C以雙曲線

x2

3

-y2=1的焦點為頂點，以雙曲線的頂點為焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于點M，N兩點（M，N不是左右頂點），且以線段MN為直徑的圓過橢圓C左頂點A，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線方程求出其頂點坐標和焦點坐標，得到橢圓的焦點和頂點坐標，結合條件b²=a²-c²求出b，則橢圓C的方程可求；
（2）設出M，N的坐標，聯立直線和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程后求出M，N的橫坐標的和與積，代入

AM

•

AN

=0得到k與m的關系，從而證明直線l過定點，并求出該定點的坐標．

解答：（1）解：由雙曲線

x2

3

-y2=1，得c²=3+1=4，∴其焦點為（-2，0），（2，0）．頂點為（-

3

，0），（

3

，0）．
則所求橢圓的半長軸a=2，半焦距c=

3

，b²=a²-c²=4-3=1．
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1；
（2）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯立方程組

y=kx+m x2 4 +y2=1

⇒(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，
得

x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

．
∵以MN為直徑的圓過點A（-2，0），∴

AM

•

AN

=0，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，整理得5m²-16km+12k²=0，
∴m=

6

5

k或m=2k，滿足△＞0，
若m=2k，則直線l恒過定點A（-2，0），不合題意；
若m=

6

5

k，則直線l恒過定點(-

6

5

，0)．
∴則直線l恒過定點(-

6

5

，0)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了設而不求的解題思想方法和數學轉化思想方法，解答的關鍵是把以線段MN為直徑的圓過橢圓C左頂點A轉化為向量數量積等于0解題，考查了學生的計算能力，是高考試卷中的壓軸題．