Question

【題目】為方便市民休閑觀光，市政府計(jì)劃在半徑為200米，圓心角為120°的扇形廣場(chǎng)內(nèi)（如圖所示），沿△ABC邊界修建觀光道路，其中A、B分別在線段CP、CQ上，且A、B兩點(diǎn)間距離為定長(zhǎng) 米．

（1）當(dāng)∠BAC=45°時(shí)，求觀光道BC段的長(zhǎng)度；
（2）為提高觀光效果，應(yīng)盡量增加觀光道路總長(zhǎng)度，試確定圖中A、B兩點(diǎn)的位置，使觀光道路總長(zhǎng)度達(dá)到最長(zhǎng)？并求出總長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，由已知及正弦定理得 ，

即 ，

∴

（2）解：設(shè)CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，

在△ABC中，AB2=AC2+CB2﹣2ACCBcos120°，即 ，

∴ ，

故x+y≤120，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=60時(shí)，x+y取得最大值，

∴當(dāng)A、B兩點(diǎn)各距C點(diǎn)60米處時(shí)，觀光道路總長(zhǎng)度達(dá)到最長(zhǎng)，最長(zhǎng)為 ．

【解析】（1）由已知及正弦定理即可得解BC的值．（2）設(shè)CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，利用余弦定理可求 ，結(jié)合基本不等式可求x+y≤120，從而可求觀光道路總長(zhǎng)度最長(zhǎng)值．