Question

【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是BC，A1B1的中點．
（1）求證：DE∥平面ACC1A1；
（2）設M為AB上一點，且AM= AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長均相等，求直線DE與直線A1M所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB中點N，連結EN，DN，

∵在△ABC中，N為AB中點，D為BC中點，

∴DN∥AC，

∵DN平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，

∴DN∥平面ACC1A1，

∵在矩形ABB1A1中，N為AB中點，E為A1B1中點，

∴EN∥平面ACC1A1，

又DN平面DEN，EN平面DEN，

DN∩EN=N，∴平面DEN∥平面ACC1A1，

∵DE平面DEN，∴DE∥平面ACC1A1．

（2）解：作DP⊥AB于P，

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長均相等，D為BC的中點，

∴DP⊥平面ABB1A1的所有棱長相等，D為BC的中點，

∴DP⊥平面ABB1A1，且PB= AB，又AM= AB，

∴MP= AB，

∵A1E=EP，A1M=EP，

∴∠DEP是直線DE與直線A1M所成角，

∴由DP⊥平面ABB1A1，EP平面ABB1A1，得DP⊥EP，

設直線三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱長為a，

則在Rt△DPE中，DP= ，EP=A1M= a，

∴tan∠DEP= = ．

∴直線DE與直線A1M所成角的正切值為 ．

【解析】（1）取AB中點N，連結EN，DN，則DN∥AC，從而DN∥平面ACC1A1，再求出EN∥平面ACC1A1，從而平面DEN∥平面ACC1A1，由此能證明DE∥平面ACC1A1．（2）作DP⊥AB于P，推導出∠DEP是直線DE與直線A1M所成角，由此能求出直線DE與直線A1M所成角的正切值．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．