Question

【題目】已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]為奇函數，且|logaφ|＜1}的子集個數為4，則a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（ ）∪（ ）
【解析】解：∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]為奇函數，

∴f（0）=sin（﹣2φπ）+cos（﹣2φπ）=cos2φπ﹣sin2φπ=0，

∴cos2φπ=sin2φπ，即tan2φπ=1，∴2φπ=kπ+ ，則φ= + ，k∈Z．

驗證φ= + ，k∈Z時，f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]

=sin[（x﹣k﹣ ）π]+cos[（x﹣k﹣ ）π]=sin（πx﹣ ）+cos（ ）= 為奇函數．

∴φ= + ，k∈Z．

∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]為奇函數，且|logaφ|＜1}的子集個數為4，

∴滿足|logaφ|＜1的φ有2個，即滿足﹣1＜logaφ＜1的φ有2個．

分別取k=0，1，2，3，得到φ= ， ， ， ，

若0＜a＜1，可得a∈（ ）時，滿足﹣1＜logaφ＜1的φ有2個；

若a＞1，可得a∈（ ）時，滿足﹣1＜logaφ＜1的φ有2個．

則a的取值范圍為（ ）∪（ ）．

所以答案是：（ ）∪（ ）．

【考點精析】通過靈活運用函數奇偶性的性質，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．