Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜ ）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將函數y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的 倍，再將所得函數圖象向右平移 個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）的單調遞增區間；
（3）當x∈[﹣ ， ]時，求函數y=f（x+ ）﹣ f（x+ ）的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖可得， ，

∴T=2π，則 ．

由五點作圖的第二點知， φ= ，則φ= ．

∴f（x）=Asin（x+ ），

又f（0）=Asin =2，得A=4．

∴f（x）=4sin（x+ ）；

（2）解：將函數y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的 倍所得函數解析式

為y=4sin（2x+ ），再將所得函數圖象向右平移 個單位，解析式變為y=4sin[2（x﹣ ）+ ]，

∴g（x）=4sin（2x﹣ ）．

由 ，解得： ．

∴g（x）的單調遞增區間為 ；

（3）解：y=f（x+ ）﹣ f（x+ ）

=4sin（x+ + ）﹣4 sin（x+ + ）

=4sin（x+ ）﹣4 cosx

=4sinxcos +4cosxsin ﹣

=4sin（x﹣ ）．

∵x∈[﹣ ， ]，

∴ ，

∴函數y=f（x+ ）﹣ f（x+ ）的最小值為﹣4，最大值為2．

【解析】（1）由圖得到函數的四分之三周期，進一步求得周期，代入周期公式求ω，然后利用五點作圖的第二點求得φ，再由f（0）=2求得A的值，則函數解析式可求；（2）由函數的周期變化和平移變換求得g（x），然后再由簡單的復合函數單調性的求法求解g（x）的增區間；（3）結合（1）中的f（x）的解析式求得y=f（x+ ）﹣ f（x+ ），利用三角恒等變換變形后根據x的范圍求最值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．