Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線： 經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求出曲線、的參數(shù)方程；

（Ⅱ）若、分別是曲線、上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意，根據(jù)伸縮公式可求得曲線的普通方程，再普通方程與參數(shù)方程的互換公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而求出曲線的參數(shù)方程，同理可根據(jù)互換公式，將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，則可任取曲線上的點(diǎn)，由兩點(diǎn)間的距離公式，求出點(diǎn)到圓心的距離，從而求出，從而問題可得解.

試題解析：（Ⅰ）曲線： 經(jīng)過伸縮變換，可得曲線的方程為，

∴其參數(shù)方程為（為參數(shù)）；

曲線的極坐標(biāo)方程為，即，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，

∴其參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（Ⅱ）設(shè)，則到曲線的圓心的距離

，

∵，∴當(dāng)時(shí)， .

∴ .