Question

【題目】已知定義在上的數滿足，當時.若關于的方程有三個不相等的實數根，則實數的取值范圍是( )

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據f（2﹣x）＝f（2+x）可知函數f（x）關于x＝2對稱，利用當時，畫出函數y＝f（x）的大致圖象．由題意轉化為y＝k（x﹣2）+e﹣1與f（x）有三個交點，直線恒過定點（2，e﹣1），再根據數形結合法可得k的取值范圍．

由題意，當x≤2時，f（x）＝（x﹣1）ex﹣1．f′（x）＝xex．

①令f′（x）＝0，解得x＝0；②令f′（x）＜0，解得x＜0；③令f′（x）＞0，解得0＜x≤2．

∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，2]上單調遞增，

在x＝0處取得極小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；x→﹣∞，f（x）→0．

又∵函數f（x）在R上滿足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函數f（x）的圖象關于x＝2對稱．

∴函數y＝f（x）的大致圖象如圖所示：

關于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可轉化為f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．

而一次函數y＝k（x﹣2）+e﹣1很明顯是恒過定點（2，e﹣1）．結合圖象，當k＝0時，有兩個交點，不符合題意，

當k＝e時，有兩個交點，其中一個是（1，﹣1）．此時y＝f（x）與y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切．

∴當0＜k＜e時，有三個交點．同理可得當﹣e＜k＜0時，也有三個交點．

實數k的取值范圍為：（﹣e，0）∪（0，e）．

故選：D．