Question

現對某高校160名籃球運動員在多次訓練比賽中的得分進行統計，將每位運動員的平均成績所得數據用頻率分布直方圖表示如下．（如：落在區間[10，15）內的頻率/組距為0.0125）規定分數在[10，20）、[20，30）、[30，40）上的運動員分別為三級籃球運動員、二級籃球運動員、一級籃球運動員，現從這批籃球運動員中利用分層抽樣的方法選出16名運動員作為該高校的籃球運動員代表．
（1）求a的值和選出籃球運動員代表中一級運動員的人數；
（2）若從籃球運動員代表中依次選三人，求其中含有一級運動員人數X的分布列；
（3）若從該校籃球運動員中有放回地選三人，求其中含有一級運動員人數Y的期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統計

分析：（1）利用頻率分布直方圖能求出a的值和選出籃球運動員代表中一級運動員的人數．
（2）由已知可得X的可能取值分別為0，1，2，3，分別求出相對應的概率，能求出X的分布列．
（3）由已知得Y～B（3，

1

4

），由此能求出恰有一級運動員人數Y的期望．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖知：
（0.0625+0.0500+0.0375+a+2×0.0125）×5=1，
解得a=0.0250．…（2分）
其中為一級運動員的概率為（0.0125+0.0375）×5=0.25，
∴選出籃球運動員代表中一級運動員為0.25×16=4（人）．…（4分）
（2）由已知可得X的可能取值分別為0，1，2，3，…（5分）
P（X=0）=

C 3 12

C 3 16

=

11

28

，
P（X=1）=

C 2 12 •C 1 4

C 3 16

=

33

70

，
P（X=2）=

C 1 12 C 2 4

C 3 16

=

9

70

，
P（X=3）=

C 3 4

C 3 16

=

1

140

，…（7分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	11 28	33 70	9 70	1 140

…（8分）
（3）由已知得Y～B（3，

1

4

），
∴E（Y）=np=3×

1

4

=

3

4

．…（10分）
∴恰有一級運動員人數Y的期望為

3

4

人．…．（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的合理運用．