Question

已知f（x）=cosωx•sinωx+

3

cos²ωx-

3

2

（0＜ω≤1），且滿足f（x+π）=f（x）
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求當x∈[-

π

12

，

5π

12

]時，y=f（x）的取值范圍；
（Ⅲ）若關于x的方程3[f（x）]²+m•f（x）-1=0在x∈[-

π

12

，

5π

12

]時有三個不相等實根，求m的值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,根的存在性及根的個數判斷,兩角和與差的正弦函數,正弦函數的定義域和值域,y=Asin（ωx+φ）中參數的物理意義

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、輔助角公式化簡，結合f（x+π）=f（x），即可求出y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[-

π

12

，

5π

12

]時，確定2x+

π

3

的范圍，即可確定y=f（x）的取值范圍；
（Ⅲ）f（x）=1滿足方程，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cosωx•sinωx+

3

cos²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin（2ωx+

π

3

），
∵f（x+π）=f（x），∴T=π，
∴

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）當x∈[-

π

12

，

5π

12

]時，2x+

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴sin（2ωx+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[-

1

2

，1]；
（Ⅲ）∵關于x的方程3[f（x）]²+m•f（x）-1=0在x∈[-

π

12

，

5π

12

]時有三個不相等實根，
∴f（x）=1滿足方程，
∴m=-2．

點評：本題考查二倍角公式、輔助角公式，考查三角函數的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．