Question

已知圓O：x²+y²=1和點M（1，4）．
（1）過點M向圓O引切線，求切線的方程；
（2）求以點M為圓心，且被直線y=2x-8截得的弦長為8的圓M的方程；
（3）設P為（2）中圓M上任意一點，過點P向圓O引切線，切點為Q，試探究：平面內是否存在一定點R，使得

PQ

PR

為定值？若存在，請求出定點R的坐標，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）M（1，4）在圓外，切線有兩條；
（2）求出點M（1，4）到直線2x-y-8=0的距離，利用弦長，可求圓M的方程；
（3）假設存在定點R，使得

PQ

PR

為定值，設R（a，b），P（x，y），

PQ2

PR2

=λ，可得（2-2λ+2aλ）x+（8-8λ+2bλ）y+（18-19λ-a²λ-b²λ）=0（*），若使（*）對任意x，y恒成立，則

2-2λ+2aλ=0 8-8λ+2bλ=0 18-19λ-a2λ-b2λ=0

，即可得出結論．

解答： 解：（1）若過點M的直線斜率不存在，直線方程為：x=1，為圓O的切線； …（1分）
當切線l的斜率存在時，設直線方程為：y-4=k（x-1），即kx-y-k+4=0，
∴圓心O到切線的距離為：

|-k+4|

k2+1

=1，解得：k=

15

8

∴直線方程為：15x-8y+17=0．
綜上，切線的方程為：x=1或15x-8y+17=0…（4分）
（2）點M（1，4）到直線2x-y-8=0的距離為：d=

|2-4-8|

5

=2

5

，
又∵圓被直線y=2x-8截得的弦長為8，
∴r=

(2 5 )2+42

=6…（7分）
∴圓M的方程為：（x-1）²+（y-4）²=36…（8分）
（3）假設存在定點R，使得

PQ

PR

為定值，設R（a，b），P（x，y），

PQ2

PR2

=λ
∵點P在圓M上，∴（x-1）²+（y-4）²=36，則x²+y²=2x+8y+19…（10分）
∵PQ為圓O的切線，∴OQ⊥PQ，
∴PQ²=PO²-1=x²+y²-1，PR²=（x-a）²+（y-b）²，
∴x²+y²-1=λ[（x-a）²+（y-b）²]，即2x+8y+19-1=λ（2x+8y+19-2ax-2by+a²+b²）
整理得：（2-2λ+2aλ）x+（8-8λ+2bλ）y+（18-19λ-a²λ-b²λ）=0（*）
若使（*）對任意x，y恒成立，則

2-2λ+2aλ=0 8-8λ+2bλ=0 18-19λ-a2λ-b2λ=0

…（13分）
∴

a= λ-1 λ b= 4λ-4 λ

，代入得：18-19λ-(

λ-1

λ

)2λ-(

4λ-4

λ

)2λ=0
整理得：36λ²-52λ+17=0，解得：λ=

1

2

或λ=

17

18

∴

λ= 1 2 a=-1 b=-4

或

λ= 17 18 a=- 1 17 b=- 4 17

∴存在定點R（-1，-4），此時

PQ

PR

為定值

2

2

或定點R(-

1

17

，-

4

17

)，此時

PQ

PR

為定值

34

6

．…（16分）

點評：此題考查學生掌握直線與圓的位置關系，靈活運用兩點間的距離公式及點到直線的距離公式化簡求值，會根據圓心坐標和圓的半徑寫出圓的標準方程，是一道綜合題．