Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n∈N^*），數列{b_n}滿足b_n=2ⁿ•a_n
（1）求a₁
（2）求證數列{b_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（3）設c_n=log₂

n

an

，數列{

2

cncn+2

}的前n項和為T_n，求滿足T_n＜

25

21

（n∈N^*）的n的最大值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件，令n=1，能求出a₁=

1

2

．
（2）由已知條件推導出2a_n=a_n-1+（

1

2

）^n-1．所以2ⁿ•a_n=2^n-1•a_n-1+1．由b_n=2ⁿ•a_n，得b_n=b_n-1+1．由此能求出b_n=n，a_n=

n

2n

．
（3）由c_n=log₂

n

an

=log₂2ⁿ=n，知

2

cncn+2

=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

．由此利用裂項求和法能求出n的最大值．

解答： 解（1）令n=1，S1=-a1-(

1

2

)0+2，
解得a₁=

1

2

．
（2）證明：在S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2中，
當n≥2時，S_n-1=-a_n-1-（

1

2

）^n-2+2，
∴a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+（

1

2

）^n-1，
即2a_n=a_n-1+（

1

2

）^n-1．
∴2ⁿ•a_n=2^n-1•a_n-1+1．
∵b_n=2ⁿ•a_n，∴b_n=b_n-1+1．
又b₁=2a₁=1，∴{b_n}是以1為首項，1為公差的等差數列．
于是b_n=1+（n-1）•1=n，∴a_n=

n

2n

．
（3）∵c_n=log₂

n

an

=log₂2ⁿ=n，
∴

2

cncn+2

=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

．
∴T_n=（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

．
由T_n＜

25

21

，得1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

25

21

，即

1

n+1

+

1

n+2

＞

13

42

，f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

單調遞減，
∵f（3）=

9

20

，f（4）=

11

30

，f（5）=

13

42

，
∴n的最大值為4．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查最大值的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．