Question

設正項數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*，都有4S_n-a_n²-4n+1=0且a₂＞2＞a₁．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

an+1

2

，求證：

b1

b2

+

b1b3

b2b4

+…+

b1b3…b2n-1

b2b4…b2n

＜

2n+1

-1．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式,數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）根據數列的遞推關系，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用放縮法，結合數列求和，即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）∵4S_n-a_n²-4n+1=0，
∴4S_n-1-a_n-1²-4（n-1）+1=0，
兩式相減得，4a_n-a_n²+a_n-1²=4，
即a_n-1²=a_n²-4a_n+4=（a_n-2）²，
則a_n-1=|a_n-2|，
∵a₂＞2＞a₁
∴a_n-1=a_n-2，即a_n-a_n-1=2，即數列{a_n}是等差數列，公差d=2，
當n=1時，a₁=1，
則數列{a_n}的通項公式a_n=2n-1；
（Ⅱ）b_n=

an+1

2

=

2n-1+1

2

=n，
∵

(2m-1)(2m+1)

(2m)2

＜

( 2m-1+2m+1 2 )2

(2m)2

=1，m=1，2，3…，
（

b1b3…b2n-1

b2b4…b2n

） 2=(

1×3×5×…(2n-1)

2×4×6×…×2n

)2
=

1×3

22

•

3×5

42

…

(2n-3)(2n-1)

(2n-2)2

•

(2n-1)(2n+1)

(2n)2

•

1

2n+1

＜

1

2n+1

，
則

b1b3…b2n-1

b2b4…b2n

＜

1

2n+1

=

2

2 2n+1

＜

2

2n-1 + 2n+1

=

2n+1

-

2n-1

因此

b1

b2

+

b1b3

b2b4

+…+

b1b3…b2n-1

b2b4…b2n

＜

3

-1+

5

-

3

+…+

2n+1

-

2n-1

=

2n+1

-1．

點評：本題主要考查數列的通項公式的求解以及數列和不等式的綜合應用，運算量較大，綜合性較強．