Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的右頂點為，過點作直線與圓相切，與橢圓交于另一點，與右準線交于點.設直線的斜率為.

（1）用表示橢圓的離心率；

（2）若，求橢圓的離心率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可得出直線的方程為，利用該直線與圓相切，得出圓心到直線的距離等于半徑可得出，由此可計算出關于的關系式；

（2）設橢圓的焦距為，將直線的方程與橢圓的右準線方程聯立，可求出點的坐標，將直線的方程與橢圓的方程聯立，可求出點的坐標，再由，結合（1）中的結論，可得出關于、的齊次等式，從而求出橢圓的離心率.

（1）直線的方程為，即，

因為直線與圓相切，所以，故.

所以橢圓的離心率；

（2）設橢圓的焦距為，則右準線方程為，

由得，所以，

由得，

解得，則，

所以，

因為，所以，

即，

由（1）知，，所以，

所以，即，所以，故橢圓的離心率為.