Question

【題目】已知點(diǎn)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是該橢圓上一點(diǎn)，若當(dāng)時(shí)，面積達(dá)到最大，最大值為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在過左焦點(diǎn)的直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使得的面積為？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，或.

【解析】

（1）利用面積最大值為，可得，結(jié)合及的關(guān)系可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)出直線方程，利用韋達(dá)定理及面積公式，建立方程，可得直線方程.

（1）由題可知當(dāng)點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，面積最大值為①，

此時(shí)，，所以②，

又知③，由上述3個(gè)式子解得，，.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）存在，由（1），由題意可知直線與軸不重合，所以設(shè)：，

與橢圓方程聯(lián)立得，

則，，，

則，

，解得，

即直線方程為或.