Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x2﹣a）e1﹣x ， g（x）=f（x）+ae1﹣x﹣a（x﹣1）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求g（x）在（ ，2）上的最大值；
（3）當(dāng)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2）時(shí)，總有x2f（x1）≤λg′（x1），求實(shí)數(shù)λ的值（g′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)）

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（x2﹣a）e1﹣x，求導(dǎo)f′（x）=（﹣x2+2x+a）e1﹣x，

由e1﹣x＞0恒成立，

則當(dāng)﹣x2+2x+a＜0恒成立，即a≤﹣1，

f′（x）≤0恒成立，

′∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞﹣1時(shí)，令f′（x）=0，即﹣x2+2x+a=0，

解得：x=1± ．

當(dāng)f′（x）＞0，解得：1﹣ ＜x＜1+ ，

當(dāng)f′（x）＜0，解得：x＜1﹣ 或x＞1+ ，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（1﹣ ，1+ ），單調(diào)遞減區(qū)間（﹣∞，1﹣ ），（1+ ，+∞），

綜上可知：當(dāng)a≤﹣1，函數(shù)f（x）在函數(shù)在R單調(diào)遞減，

當(dāng)a＞﹣1，函數(shù)在（1﹣ ，1+ ）單調(diào)遞增，

在（﹣∞，1﹣ ），（1+ ，+∞）單調(diào)遞減

（2）解：當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=f（x）+ae1﹣x﹣a（x﹣1）=x2e1﹣x﹣（x﹣1），

則f′（x）=（2x﹣x2）e1﹣x﹣1= ，

令h（x）=（2x﹣x2）﹣ex﹣1，則h′（x）=2﹣2x﹣ex﹣1，

顯然h′（x）在（ ，2）內(nèi)是減函數(shù)，

又因h′（ ）= ﹣ ＜0，故在（ ，2）內(nèi)，總有h′（x）＜0，

∴h（x）在（ ，2）上是減函數(shù)，

又因h（1）=0，

∴當(dāng)x∈（ ，1）時(shí)，h（x）＞0，從而f′（x）＞0，這時(shí)f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，h（x）＜0，從而f′（x）＜0，這時(shí)f（x）單調(diào)遞減，

∴f（x）在（ ，2）的極大值，且為最大值是f（1）=1

（3）解：根據(jù)題意可知：f（x）=（x2﹣a）e1﹣x，則f′（x）=（2x﹣x2+a）e1﹣x=（﹣x2+2x+a）e1﹣x，

根據(jù)題意，方程﹣x2+2x+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2（x1＜x2），

∴△=4+4a＞0，即a＞﹣1，且x1+x2=2，

∵x1＜x2，x1＜1．

由x2f（x1）≤λg′（x1），其中g(shù)′（x）=（2x﹣x2）e1﹣x﹣a，

可得（2﹣x1）（x12﹣a） ≤λ[（﹣x12+2x1+a） ﹣a]，

注意到﹣x12+2x1+a=0

∴上式化為（2﹣x1）（2x1） ≤λ[（﹣x12+2x1） +（﹣x12+2x1）]，

即不等式x1[2 ﹣λ（ +1）]≤0對(duì)任意的x1∈（﹣∞，1）恒成立，

（Ⅰ）當(dāng)x1=0時(shí)，不等式x1[2 ﹣λ（ +1）]≤0恒成立，λ∈R；

（Ⅱ）當(dāng)x1∈（0，1）時(shí)，2 ﹣λ（ +1）≤0恒成立，即λ≥ ，

令函數(shù)k（x）= =2﹣ ，顯然，k（x）是R上的減函數(shù)，

∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，k（x）＜k（0）= ，

∴λ≥ ，

（Ⅲ）當(dāng)x1∈（﹣∞，0）時(shí)，2 ﹣λ（ +1）≥0恒成立，即λ≤ ，

由（Ⅱ），當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，k（x）＞k（0）= 即λ≤ ，

綜上所述，λ=

【解析】（1）求得f（x）的解析式，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，即可求得f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a=1，求得g（x），求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得g（x）在（ ，2）上的最大值；（3）由f（x）=（x2﹣a）e1﹣x ， 求導(dǎo)，由題意可知：方程﹣x2+2x+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1 ， x2（x1＜x2），則x1+x2=2，代入求得﹣x12+2x1+a=0，代入f′（x）和g′（x），則不等式x1[2 ﹣λ（ +1）]≤0對(duì)任意的x1∈（﹣∞，1）恒成立，根據(jù)x的取值范圍，即可求得實(shí)數(shù)λ的值．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．