Question

【題目】已知函數f（x）=2 sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．
（1）當x∈[0， ]時，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足 = ， =2+2cos（A+C），求f（B）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2 sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3

= sin2x﹣3 ﹣ +3

= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1，

∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[ ，1]，則2sin（2x+ ）+1∈[0，3]，

即函數f（x）=2sin（2x+ ）+1的值域是[0，3]

（2）解：∵ =2+2cos（A+C），

∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），

sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），

﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，

由正弦定理可得c=2a，又由 = 可得b= a，

由余弦定理可得cosA= = = ，

又0°＜A＜180°，∴A=30°，

則sinC=2sinA=1，即C=90°，

∴B=180°﹣A﹣C=60°，

∴f（B）=f（ ）=2sin（ + ）+1=2

【解析】（1）由二倍角公式以及變形、兩角和的正弦公式化簡解析式，由x的范圍求出2x+ 的范圍，由正弦函數的性質求出f（x）的值域；（2）由兩角和與差的正弦公式、正弦定理化簡已知的式子，由條件和余弦定理求出cosA的值，由A的范圍和特殊角的三角函數值求出A，由三角形的內角和定理求出B，代入可得f（B）的值．
【考點精析】本題主要考查了兩角和與差的正弦公式和正弦定理的定義的相關知識點，需要掌握兩角和與差的正弦公式：；正弦定理:才能正確解答此題．