Question

【題目】已知函數f（x）=|x+4|﹣|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）＞3；
（2）若不等式f（x）+1≤4a﹣5×2a有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 ，

則當x≤﹣4時，不成立；當﹣4＜x＜1時，2x+3＞3，解得0＜x＜1；

當x≥1時，5＞3成立，故原不等式的解集為{x|x＞0}

（2）解：根據題意可得 的最小值為﹣5，

由即f（x）≤4a﹣5×2a﹣1有解，∴4a﹣5×2a﹣1≥﹣5，即4a﹣5×2a+4≥0，即2a≥4或2a≤1，∴a≥2或a≤0，

故實數a的取值范圍是（﹣∞，0]∪[2，+∞）

【解析】（1）由題意可得 ，分類討論，求得不等式f（x）＞3的解集．（2）根據題意可得 的最小值為﹣5，可得4a﹣5×2a﹣1≥﹣5，由此求得實數a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．