【題目】如圖，在四棱錐
中，
底面
，
，
，
，
為
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）若點
在線段
上，且滿足
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）詳見解析（2）
【解析】
(1) 連接
,
為正三角形，
，即
，又
，由線面垂直的判定定理即可得到證明；（2）由（1）知
，
，
兩兩垂直，因此以
為坐標原點，以，，
所在的直線分別為
軸建立空間直角坐標系，求出平面
的一個法向量，然后利用線面角的向量公式計算即可.
（1）如圖，連接.
由條件知四邊形
為菱形，且
，
∴
，∴
為正三角形.
∵
為
的中點，∴.
又∵
，∴.
又∵
底面，
底面，∴.
∵
，∴
平面
.
（2）由（1）知，，兩兩垂直，因此以為坐標原點，以，，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則
，
，
，
，
.
∵
，∴
，
∴ 
.易知
.
設
為平面的一個法向量，則
由
得
取
，得
.
又∵
，
∴
，
故直線
與平面所成角的正弦值為.
53隨堂測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】研究變量
，
得到一組樣本數據，進行回歸分析，有以下結論
①殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好；
②用相關指數
來刻畫回歸效果，越小說明擬合效果越好；
③在回歸直線方程
中,當解釋變量每增加1個單位時,預報變量
平均增加0.2個單位
④若變量和之間的相關系數為
，則變量和之間的負相關很強，以上正確說法的個數是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為
，過點
的直線
的參數方程為
（
為參數），直線與曲線相交于
兩點.
（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；
（2）若
,求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市對創“市級示范性學校”的甲、乙兩所學校進行復查驗收，對辦學的社會滿意度一項評價隨機訪問了20為市民，這20位市民對這兩所學校的評分（評分越高表明市民的評價越好）的數據如下：
甲校：58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81；
乙校：90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.
檢查組將成績分成了四個等級：成績在區間
的為
等，在區間
的為
等，在區間
的為
等，在區間
為
等.
（1）請用莖葉圖表示上面的數據，并通過觀察莖葉圖，對兩所學校辦學的社會滿意度進行比較，寫出兩個統計結論；
（2）估計哪所學校的市民的評分等級為
級或
級的概率大，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知過原點
的兩條互相垂直的直線與拋物線
相交于不同于原點的兩點
，且
軸，
的面積為16.
（1）求拋物線
的標準方程；
（2）已知點
，
，
為拋物線上不同的三點，若
，試問：直線
是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（2）若直線與曲線交于
兩點，且設定點
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的一個焦點為
，點
在上.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線
：
與橢圓相交于
，
兩點，問
軸上是否存在點
，使得
是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.
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