Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知一動圓經(jīng)過點且在軸上截得的弦長為4，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過點作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點與曲線交于，兩點，線段，的中點分別為，，求證：直線過定點，并求出定點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，利用圓心的半徑相等可建立等式，求得曲線的方程；（2）易知兩直線的斜率都存在，設(shè)直線斜率可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立可得點坐標(biāo)，同理可得的坐標(biāo)，得直線的方程，得其過定點，且得出定點坐標(biāo)．

試題解析：（1）設(shè)圓心，依題意有

，即得，

∴曲線的方程為．

（2）易知直線，的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，，，

則直線：，，

由得，

，

∴，，

∴．

同理得．

當(dāng)或時，直線的方程為；

當(dāng)且時，直線的斜率為，

∴直線的方程為，即，

∴直線過定點，其坐標(biāo)為．