Question

【題目】已知函數.

（1）當時，恒成立，求實數的取值范圍；

（2）證明：當時，函數有最小值，設最小值為，求函數的值域.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】分析：分析題意，該題可借助于利用導數求函數的單調性和最值的方法進行解答，對于

（1），首先將式子進行轉化，構造新函數，借助于導數來完成即可；對于（2）利用導數求函數的最值，不難得到函數的最小值為，則，再利用導數求出其值域即可.

詳解：（1）因為對恒成立，

等價于對恒成立，

設

得，

故在上單調遞增，

當時，由上知，

所以，

即.

所以實數的取值范圍為；

（2）對求導得

記

由（1）知在區間內單調遞增，

又，

所以存在唯一正實數，

使得，

∴當時，，函數在區間單調遞減；

時，，函數在區間單調遞增；

所以在內有最小值，

有題設即，

又因為，

所以

根據（1）知，在內單調遞增，，

所以，

令，

則，

函數在區間內單調遞增，

所以，

即函數的值域為.