Question

【題目】已知函數.

（1）求函數在上的單調遞增區間；

（2）將函數的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象.求證：存在無窮多個互不相同的整數，使得.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為；（2）見解析.

【解析】

（1）利用二倍角的降冪公式以及輔助角公式可將函數的解析式化簡為，然后求出函數在上的單調遞增區間，與定義域取交集可得出答案；

（2）利用三角函數圖象變換得出，解出不等式的解集，可得知對中的任意一個，每個區間內至少有一個整數使得，從而得出結論.

（1）.

令，解得，

所以，函數在上的單調遞增區間為，

，因此，函數在上的單調遞增區間為；

（2）將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，

再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，

由，

對于中的任意一個，區間長度始終為，大于，

每個區間至少含有一個整數，

因此，存在無窮多個互不相同的整數，使得.