Question

過橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）的右焦點F作相互垂直的兩條弦AB和CD，若|AB|+|CD|的最小值為2

3

，則橢圓的離心率e=（　�。�

• A、

  3

  3

• B、

  6

  3

• C、

  2

  2

• D、

  6

  6

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由于對稱性，|AB|+|CD|最小時，AB、CD與X軸成45°，故斜率為1或-1，不妨設AB斜率=1，故AB=CD=

3

，設出AB方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合距離公式，利用AB=CD=

3

，即可得出結論．

解答： 解：由于對稱性，|AB|+|CD|最小時，AB、CD與X軸成45°，故斜率為1或-1，不妨設AB斜率=1
故AB=CD=

3

設右焦點坐標為（c，0），AB坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），AB方程為：y=x-c
代入橢圓方程得：（1+a²）x²-2ca²x+a²（c²-1）=0
x₁+x₂=

2ca2

1+a2

，x₁x₂=

a2(c2-1)

1+a2

，
∴AB²=2（x₁-x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=

8a2(a2+1-c2)

(1+a2)2

=3，
把c²=a²-1代入上式得：

16a2

(1+a2)2

=3
∴a²=3
∴a=

3

，
∴c²=a²-1=3-1=2
∴c=

2

∴e=

c

a

=

6

3

．
故選：B．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓的性質，難度中等．