Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF₂與橢圓C的另一個交點，∠F₁AF₂=60°．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）已知△AF₁F₂的面積為25

3

，求弦AB的長度．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）直接利用∠F₁AF₂=60°，求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）設|BF₂|=m，則|BF₁|=2a-m，利用余弦定理以及已知△AF₁B的面積為25

3

，直接求a，b 的值．由此能求出|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）∵F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，
A是橢圓C的頂點，∠F₁AF₂=60°，
∴a=2c，
∴e=

c

a

=

1

2

．
（Ⅱ）設|BF₂|=m，則|BF₁|=2a-m，
在三角形BF₁F₂中，|BF₁|²=|BF₂|²+|F₁F₂|²-2|BF₂||F₁F₂|cos120°
整理，得（2a-m）²=m²+a²+am．
m=

3

5

a．
△AF₁B面積S=

1

2

|BA||F₁A|sin60°，
∴

1

2

a（a+

3

5

a）•

3

2

=25

3

，解得a=

5 10

2

．
∴c=

a

2

=

5 10

4

，∴F₁（-

5 10

4

，0），F(xiàn)₂（

5 10

4

，0），∴A（0，

5 10

4

），
∴直線AB：x+y-

5 10

4

=0
∴F₁到直線AB的距離d=

|- 5 10 4 - 5 10 4 |

2

=

5 5

2

，
∴|AB|=

25 3

1 2 d

=

25 3

5 5 4

=4

15

．

點評：本題考查橢圓離心率的求法，考查弦長的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式和橢圓性質的靈活運用．