Question

【題目】如圖所示的某種容器的體積為，它是由圓錐和圓柱兩部分連結而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為.圓錐的高為，母線與底面所成的角為；圓柱的高為.已知圓柱底面造價為元，圓柱側面造價為元，圓錐側面造價為元.

（1）將圓柱的高表示為底面圓半徑的函數，并求出定義域；

（2）當容器造價最低時，圓柱的底面圓半徑為多少？

Answer 1

【答案】（1），定義域為.（2）

【解析】

（1）由題由圓柱與圓錐體積公式得，得即可；（2）由圓柱與圓錐的側面積公式得容器總造價為，求導求最值即可

（1）因為圓錐的母線與底面所成的角為，所以，

圓錐的體積為，圓柱的體積為.

因為，所以，

所以.

因為，所以.

因此.

所以，定義域為.

（2）圓錐的側面積，

圓柱的側面積，底面積.

容器總造價為.

令，則.令，得.

當時，，在上為單調減函數；

當時，，在上為單調增函數.

因此，當且僅當時，有最小值，即有最小值，為元.

所以總造價最低時，圓柱的底面圓半徑為.