Question

【題目】若函數對定義域中任意x均滿足，則稱函數的圖象關于點對稱．

（1）已知函數的圖象關于點對稱，求實數m的值；

（2）已知函數在上的圖象關于點對稱，且當時，，求函數在上的解析式；

（3）在（1）（2）的條件下，當時，若對任意實數，恒有成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題本題主要考查函數的對稱性、函數的解析式、函數的最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，利用已知，則說明的圖象關于點對稱，則，代入解析式，解出m的值；第二問，由第一問知，因為，所以，通過轉化，將代入已知解析式中，整理出的值，最后代入到中，得到解析式；第三問，將對任意實數，恒有成立，轉化為，通過第一問可得到的解析式，再利用分離常數法、基本不等式求出的最小值3，將的表達式配方，數形結合證明即可.

試題解析：（1）由題設可得，

即，解得.

（2）當時，且，

∴.

（3）由(1)得，

其最小值為.

，

①當，即時，，

得；

②當，即時，，

得；

由①②得．