Question

【題目】如圖，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是邊長為4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．

（Ⅰ）求證：AE⊥PD；

（Ⅱ）若PA=4，求二面角E—AF—C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）通過證明PA⊥AE和AE⊥AD，可證得AE⊥平面PAD，從而得證；

（Ⅱ）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，分別求面AEF和面AFC的法向量，利用法向量求解二面角即可.

（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．

因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE．

而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD．所以 AE⊥PD．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE、AD、AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，則A（0，0，0），B（2，—2，0），C（2，2，0），D（0，4， 0），P（0，0，4），E（2，0，0），F（），

所以=（2，0，0），＝（）

設平面AEF的法向量為=（），

則，因此

取，則=（0，2，—1），

因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故為平面AFC的法向量．

又（—2，6，0），所以cos＜，＞=．

因為二面角E—AF—C為銳角，所以所求二面角的余弦值為．