Question

【題目】已知橢圓，直線不過原點且不平行于坐標軸，與交于、兩點，線段的中點為．

（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（2）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出的方程；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】⑴見解析⑵四邊形OAPB能為平行四邊形，或．

【解析】

（1）設直線()，，，，通過直線與橢圓聯立及坐標表示向量即可證得結論；

（2）由⑴得OM的方程為．設點P的橫坐標為，通過直線與橢圓聯立解得，根據題意有，解方程即可得解.

⑴設直線()，，，，

將代入中，得，

故，，

于是直線OM的斜率，即，所以命題得證．

⑵四邊形OAPB能為平行四邊形．

因為直線過點，所以不過原點且與C有兩個交點的充要條件是且．

由⑴得OM的方程為．設點P的橫坐標為．

由，得，即．

將點的坐標代入直線的方程得，因此，

四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即．

于是，

解得，．所以當四邊形OAPB為平行四邊形時，l的方程為或．