Question

【題目】如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四邊形CDEF為正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若點G是棱AB的中點，求證：EG∥平面BDF；
（Ⅱ）求直線AE與平面BDF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在線段FC上是否存在點H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）證明：∵四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°， ∴CD=AB﹣2ADcos60°=1，即CD= AB．
∵CD EF，CD AB，又BG= AB，
∴EF BG，
∴四邊形EFBG是平行四邊形，
∴EG∥BF，
又EG平面BDF，BF平面BDF，
∴EG∥平面BDF
（II）解：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD= = ，
∴AD2+BD2=AB2 ， ∴AD⊥BD．
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD．
以D為原點，以直線DA，DC，DE為坐標軸建立空間直角坐標系D﹣xyz，如圖所示：
則A（1，0，0），E（0，0，1），B（0， ，0），D（0，0，0），F（﹣ ， ，1）
∴ =（﹣1，0，1）， =（0， ，0）， =（﹣ ， ，1），
設平面BDF的法向量為 =（x，y，z），則 ， =0，
∴ ，令z=1得 =（2，0，1），
∴cos＜ ＞= = =﹣ ，
設直線AE與平面BDF所成角為θ，則sinθ=|cos＜ ＞|= ．
（Ⅲ）解：設H（﹣ ， ，h），（0≤h≤1）
當h=0時，顯然平面BDF與平面HAD不垂直，
則 =（﹣ ， ，h）， =（1，0，0），
設平面HAD的法向量為 =（x，y，z），則 ， ，
∴ ，令y= 得 =（0， ，﹣ ）．
假設存在點H，使得平面BDF⊥平面HAD，則 ，
∴ =﹣ =0，方程無解．
∴線段FC上不存在點H，使平面BDF⊥平面HAD．

【解析】（I）求出CD=1，證明四邊形EFBG是平行四邊形得出EG∥BF即可得出EG∥平面BDF；（II）建立空間坐標系，求出平面BDF的法向量 和 的坐標，則直線AE與平面BDF所成角的正弦值為|cos＜ ＞|；（III）假設存在H點滿足條件，求出平面HAD的法向量 ，令 =0，根據方程是否有解得出結論．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．