Question

【題目】如圖，已知四邊形ABEF于ABCD分別為正方形和直角梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BC= AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，點M是棱ED的中點．

（1）求證：CM∥平面ABEF；
（2）求三棱錐D﹣ACF的體積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：幾何法：連結AE，BF，交于點O，連結OM，

∵ABEF是正方形，∴O是AE中點，

∵M是DE中點，∴OM AC，

∵ABCD是直角梯形，AB=BC= AD=1，

∴BC AC，∴BC OM，

∴四邊形BCMO是平行四邊形，

∴BO∥CM，

∵BO平面ABEF，CM平面ABEF，

∴CM∥平面ABEF．

向量法：∵四邊形ABEF于ABCD分別為正方形和直角梯形，

平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BC= AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，點M是棱ED的中點．

∴以A為原點，AF為x軸，AC為y軸，AB為z軸，建立空間直角坐標系，

D（0，2，0），E（1，0，1），M（ ），C（0，1，1），

=（ ），

平面ABEF的法向量 =（0，1，0），

∵ =0，CM平面ABEF，∴CM∥平面ABEF．

（2）

解：（2）∵點F到平面ACD的距離AF=1，

S△ACD=S梯形ABCD﹣S△ABC= =1，

∴三棱錐D﹣ACF的體積：

VD﹣ACF=VF﹣ACD= = = ．

【解析】（1）幾何法：連結AE，BF，交于點O，連結OM，推導出四邊形BCMO是平行四邊形，由此能證明CM∥平面ABEF．
向量法：以A為原點，AF為x軸，AC為y軸，AB為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明CM∥平面ABEF．（2）三棱錐D﹣ACF的體積VD﹣ACF=VF﹣ACD ， 由此能求出結果．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．