Question

【題目】已知函數，將的圖象向右平移兩個單位長度，得到函數的圖象．

（1）求函數的解析式；

（2）若方程在上有且僅有一個實根，求的取值范圍；

（3）若函數與的圖象關于直線對稱，設，已知對任意的恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

【試題分析】（1）借助平移的知識可直接求得函數解析式；（2）先換元將問題進行等價轉化為有且只有一個根，再構造二次函數運用函數方程思想建立不等式組分析求解；（3）先依據題設條件求出函數的解析式，再運用不等式恒成立求出函數的最小值：

解：（1）

（2）設,則，原方程可化為

于是只須在上有且僅有一個實根，

法1：設，對稱軸t=,則 ① ， 或 ②

由①得 ，即，

由②得 無解, ，則。

法2：由 ，得，，，

設，則，，記，

則在上是單調函數，因為故要使題設成立，

只須，即，

從而有

（3）設的圖像上一點，點關于的對稱點為，

由點在的圖像上，所以，

于是 即..

由，化簡得，設,即恒成立.

解法1：設，對稱軸

則③ 或 ④

由③得， 由④得或，即或

綜上，.

解法2：注意到，分離參數得對任意恒成立

設，，即

可證在上單調遞增