Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，斜率為1的直線l交圓C與A、B兩點．
（1）化圓C的方程為標準方程，并指出圓心和半徑；
（2）是否存在直線l，使以線段AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；
（3）當直線l平行移動時，求△CAB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）利用配方法，化圓C的方程為標準方程，可得圓心與半徑；
（2）假設所求直線存在，將條件以AB為直徑的圓經過原點O，轉化為OA⊥OB．通過聯立方程可求；
（3）求出△CAB面積，即可求出最大值．

解答： 解：（1）圓C化成標準方程為：（x-1）²+（y+2）²=3²，
∴圓心為C（1，-2），半徑r=3．                 …（2分）
（2）設以線段AB為直徑的圓為M，且圓心M的坐標為（a，b）．
由于CM⊥l，∴k_CM•k_l=-1，即

b+2

a-1

×1=-1，
∴a+b+1=0，①…（3分）
由于直線l過點M（a，b），∴l的方程可寫為y-b=x-a，即x-y+b-a=0，
因此|CM|=

|b-a+3|

2

．   …（4分）
又∵以AB為直徑的圓M過原點，∴|MA|=|MB|=|OM|． …（5分）
而|MB|2=|CB|2-|CM|2=9-(

|b-a+3|

2

)2，|OM|²=a²+b²
所以9-(

|b-a+3|

2

)2=a2+b2②…（6分）
由①②得：a=

3

2

或a=-1．
當a=

3

2

時，b=-

5

2

，此時直線l的方程為x-y-4=0；
當a=-1時，b=0，此時直線l的方程為x-y+1=0．
∴所求斜率為1的直線l是存在的，其方程為x-y-4=0或x-y+1=0．…（8分）
（3）設AB的中點為M，則|AB|=2|MB|=2

9-|CM|2

，|CM|=

|2-2a|

2

，
∴S_△CAB=

1

2

|AB||CM|=

-2[2(a-1)2- 9 2 ]2+ 81 4

≤

9

2

，
當

a= 5 2 b=- 7 2

或

a=- 1 2 b=- 1 2

時等號成立，此時直線L的方程為x-y=0或x-y-6=0，滿足題意，△CAB面積的最大值為

9

2

．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．