Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄
（2）猜想數列{a_n}的通項公式a_n，并用數學歸納法證明．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由題設條件，分別令n=1，2，3，4，能夠求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（2）由（1）猜想數列{a_n}的通項公式：a_n=2ⁿ-1，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答： 解：（1）因為S_n=2a_n-n，
所以a₁=1，a₂=3，a₃=7，a₄=15；
（2）猜想 a_n=2ⁿ-1
證明：①n=1時成立
②假設n=k時成立，即a_k=2^k-1
則n=k+1時，S_k+1=2a_k+1-（k+1），又S_k=2a_k-k
兩式相減得：a_k+1=2a_k+1
由假設及上式得：ak+1=2(2k-1)+1
即：ak+1=2k+1-1
所以n=k+1時也成立
由①②知a_n=2ⁿ-1，n∈N₊時成立

點評：本題是中檔題，考查數列遞推關系式的應用，數學歸納法證明數列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．注意在證明n=k+1時用上假設，化為n=k的形式．