Question

（1）設f（x）=

x2(x≤0) cosx-1(x＞0)

試求

∫

π 2 -1

f（x）dx．
（2）求函數y=

1

3

x與y=x-x²圍成封閉圖形的面積．

Answer 1

考點：定積分,定積分在求面積中的應用

專題：導數的概念及應用

分析：（1）分段函數的積分必須分段求解，故先將原式化成dx=

∫

0 -1

f(x)dx

+∫

π 2 0

f(x)dx，再分別求各個和式的積分，最后只要求出被積函數的原函數，結合積分計算公式求解即可．
（2）先聯立方程，組成方程組，求得交點坐標，可得被積區間，再用定積分表示出函數y=

1

3

x與y=x-x²圍成封閉圖形的面積．即可求得結論

解答： 解：（1）

∫

π 2 -1

f（x）dx=

∫

0 -1

f(x)dx

+∫

π 2 0

f(x)dx=

∫

0 -1

x2dx

∫+

π 2 0

(cosx-1)dx=

1

3

x2

|

0 -1

+(sinx-x)

|

π 2 0

=

1

3

+1-

π

2

=

4

3

-

π

2

．
（2）由

1

3

x=x-x²得x=0，x=

2

3

，
則

∫

2 3 0

(x-x2)dx-

∫

2 3 0

1

3

xdx=(

1

2

x2-

1

3

x3)

|

2 3 0

-(

1

6

x2)

|

2 3 0

=

4

81

，
故函數y=

1

3

x與y=x-x²圍成封閉圖形的面積為

4

81

點評：本小題主要考查定積分、定積分的應用、利用定積分求封閉圖形的面積是求面積的通法，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．