Question

【題目】對于數列，若對任意的，也是數列中的項，則稱數列為“數列”，已知數列滿足：對任意的，均有，其中表示數列的前項和.

（1）求證：數列為等差數列；

（2）若數列為“數列”，，且，求的所有可能值；

（3）若對任意的，也是數列中的項，求證：數列為“數列”.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）、10、12、16；（3）證明見解析.

【解析】

（1）已知與關系,結合等差數列的定義,即可證明;

（2）根據“數列”的定義,可推出公差的所有可能值，即可求出的所有可能值;

（3）由已知任意的,也是數列中的項,得到與公差的關系,從而求得的通項,即可得到證明.

（1）由,得,

,

即,,

兩式相減得,

數列為等差數列;

（2）設的公差為,

,

由于數列為“數列”，是的項

,

，

的可能值為,

的所有可能值;

（3）設,

,也是數列中的項,

設是中的第項，則

，

是中的第項，

數列為“數列”.