Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，離心率，左，右頂點分別為A，B，經過點F的直線與橢圓交于C，D兩點（與A，B不重合).

(1)求橢圓M的方程；

(2)記與的面積分別為和，求|的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）由焦點F坐標可求c值，根據離心率e及a，b，c的平方關系可求得a值；

（2）當直線l不存在斜率時可得，|S1﹣S2|＝0；當直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設直線方程為x＝my﹣1，與橢圓方程聯立消y可得x的方程，根據韋達定理可用m表示與的面積，再用基本不等式即可求得其最大值．

（1）設橢圓M的半焦距為c，即c＝1，

又離心率e，即

∴a＝2，b2＝a2﹣c2＝3

∴橢圓M的方程為.

（2）設直線l的方程為x＝my﹣1，C（x1，y2），D（x2，y2），聯立方程組

，消去x得，（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0

∴y1+y2，y1y20

S1＝S△ABC|AB||y1|，S2＝S△ABD|AB||y2|，且y1，y2異號

∴|S1﹣S2||AB||y1+y2|4×|y1+y2|

∵3|m|4，

當且僅當3|m|，即m＝±時，等號成立

∴|S1﹣S2|的最大值為.