Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，點E、F分別是AB、A₁D₁的中點．
（Ⅰ）求線段EF的長；
（Ⅱ）求異面直線EF與CB₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：分別以DA、DC、DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線EF與CB₁所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）解：分別以DA、DC、DD₁為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
∵E（2，1，0），F（1，0，2），
∴

EF

=（-1，-1，2），
∴線段EF的長|

EF

|=

6

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

EF

=（-1，-1，2），
∵C（0，2，0），B₁（2，2，2），
∴

CB1

=（2，0，2），
設異面直線EF與CB₁所成角為θ，
則cosθ=|cos＜

EF

，

CB1

＞|=|

-2+0+4

6 • 8

|=

3

6

．
∴異面直線EF與CB₁叫所成角的余弦值為

3

6

．

點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．