Question

△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
（1）求∠A；
（2）若a=7，△ABC的面積為10

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（1）先根據二倍角的余弦函數公式及誘導公式化簡得到關于cosA的一元二次方程，解出cosA，根據角的范圍，利用特殊角的三角函數值求出A即可；
（2）利用余弦定理得到①及三角形的面積公式得到②，聯立①②化簡可得b+c的值．

解答：解：（1）由4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

得：
4[1-cos（B+C）]-cos2A=

7

2

，可得：
4cos²A-4cosA+1=0，
解得cosA=

1

2

，
∴∠A=

π

3

．

（2）由a=7及∠A=

π

3

，根據余弦定理得：a²=7²=b²+c²-2bccos

π

3

①，
根據面積公式得S=10

3

=

1

2

bcsin

π

3

②，
聯立①②得到（b+c）²=169，
所以b+c=13．

點評：考查學生靈活運用余弦定理、三角形的面積公式化簡求值，利用二倍角的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值．做題時應注意在等式中找關系整體代入即可求出所求的值．