Question

在△ABC中，A：B：C=4：2：1，證明

1

a

+

1

b

=

1

c

．

Answer 1

分析：先根據A：B：C=4：2：1及三角形內角和為180°可求得A，B，C的值．要證

1

a

+

1

b

=

1

c

成立，根據正弦定理知即要證

1

sinA

+

1

sinB

=

1

sinC

成立，即要證明

1

sin 4π 7

+

1

sin 2π 7

=

1

sin π 7

成立．

解答：解：∵A：B：C=4：2：1∴A=

4π

7

，B=

2π

7

，C=

π

7

要證

1

a

+

1

b

=

1

c

成立，根據正弦定理知即要證

1

sinA

+

1

sinB

=

1

sinC

成立
∵

1

sin 4π 7

+

1

sin 2π 7

=

sin 4π 7 +sin 2π 7

sin 4π 7 sin 2π 7

=

2sin 3π 7 cos π 7

sin 4π 7 sin 2π 7

=

2cos π 7

sin 2π 7

=

2cos π 7

2sin π 7 cos π 7

=

1

sin π 7

∴

1

sinA

+

1

sinB

=

1

sinC

點評：本題主要考查了正弦定理的應用．本題的關鍵就是通過正弦定理把關于證明邊的問題轉化成證明角的問題．