Question

【題目】如圖，已知定圓，定直線過的一條動直線與直線相交于，與圓相交于兩點，是中點．

（1）當與垂直時，求證：過圓心；

（2）當時，求直線的方程；

（3）設，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）或 （3）存在，是定值5

【解析】

（1）根據與垂直寫出直線的方程；將圓心代入方程易知過圓心；

（2）過的一條動直線，應當分為斜率存在和不存在兩種情況；當直線與軸垂直時，進行驗證，當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，由于弦長，利用垂徑定理，則圓心到弦的距離，從而解得斜率來得出直線的方程；

（3）當與軸垂直時，要對設，進行驗證；當的斜率存在時，設直線的方程為，代入圓的方程得到一個二次方程，利用韋達定理和中點坐標公式求的坐標，再用兩根直線方程聯立，求的坐標，由圖可知，再討論是否為定值．

解：（1）由題意可知直線的斜率，由與垂直得直線的斜率，

所以直線的方程為．

將圓心代入方程易知過圓心；

（2）由于，是中點，由垂徑定理得，

①當直線與軸垂直時，易知，圓心到直線的距離為1，符合題意；

②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，即，

，解得，直線的方程為，即；

綜上：直線的方程為或；

（3）①當與軸垂直時，易得，，又，

則，，此時；

②當的斜率存在時，設直線的方程為，

代入圓的方程化簡得，

設，，，

則，，

即，，

又由得，

則，

由圖可知，

；

綜上：為定值5．