Question

【題目】已知函數，給出下列關于的性質：

①是周期函數，3是它的一個周期；

②是偶函數；

③方程有有理根；

④方程與方程的解集相同；

⑤是周期函數，是它的一個周期．

其中正確的個數為（　　）

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】A

【解析】

本題綜合的考查了函數的性質，可以根據周期函數、函數奇偶性結合方程思想，特殊值代入驗證法，對五個結論逐一進行判斷，最后得到結論．

當T=3，則當x為有理數時，x+3也為有理數，則f(x+3)=f(x)；

則當x為有無理數時，x+3也為無理數，則f(x+3)=f(x)；

故T為函數的周期，即f(x)是周期函數，3是它的一個周期，

故①正確；

若x為有理數，則x也為有理數，則f(x)=f(x)；

若x為無理數，則x也為無理數，則f(x)=f(x)；

故f(x)是偶函數，故②正確；

存在有理數0，使得f(x)=cosx=0成立，

故方程f(x)=cosx有有理根，即③正確；

方程f[f(x)]=f(x)可等價變形為f(x)=1，

故方程f[f(x)]=f(x)與方程f(x)=1的解集相同，

故④正確；

當T=是它的一個周期，則當x為有理數時，x+為無理數，

則f(x+)，則不是周期函數，

故⑤不正確；

綜上，正確的個數為4個.

故選：A.