【題目】已知函數
，
．
（1）討論
的單調性；
（2）若有兩個極值點
，求
的最大值．
【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）求出導函數，根據二次函數的
與
的關系來分類討論函數的單調性，并注意一元二次方程根的正負與定義域的關系；
（2）由
是兩個極值點得到對應的韋達定理形式，然后利用條件將
轉變為關于某一變量的新函數，分析新函數的單調性從而確定出新函數的最大值即的最大值.
（1）
，
，
，
當
，即
時，
，此時
在
上單調遞增；
當
時，
有兩個負根，此時在上單調遞增；
當
時，有兩個正根，分別為
，
，
此時在
，
上單調遞增，在
上單調遞減．
綜上可得:
時，在上單調遞增，
時，在
，
上單調遞增，在
上單調遞減．
（2）由（1）可得
，，
，
，
∵，
，∴
，
，
∴
令
，則
當
時，
；當
時，
∴
在
上單調遞增，在
單調遞減
∴
∴的最大值為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠預購軟件服務，有如下兩種方案：
方案一：軟件服務公司每日收取工廠60元，對于提供的軟件服務每次10元；
方案二：軟件服務公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務不超過15次，不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務每次收費標準為20元.
（1）設日收費為
元，每天軟件服務的次數為
，試寫出兩種方案中與的函數關系式；
（2）該工廠對過去100天的軟件服務的次數進行了統計，得到如圖所示的條形圖，依據該統計數據，把頻率視為概率，從節約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知定圓
，定直線
過
的一條動直線
與直線
相交于
，與圓
相交于
兩點，
是
中點．
（1）當與垂直時，求證：過圓心；
（2）當
時，求直線的方程；
（3）設
，試問
是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
，底面四邊形
為直角梯形，
，
，
為線段
上一點.
(1)若
，則在線段上是否存在點，使得
平面
?若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由
(2)己知
，若異面直線
與
成
角，二而角
的余弦值為
，求的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知四邊形
的直角梯形，
,
，
，
為線段
的中點，
平面，
，
為線段
上一點（不與端點重合）.
（Ⅰ）若
，
（i）求證：
平面
；
（ii）求直線
與平面所成的角的大小；
（Ⅱ）否存在實數
滿足
，使得平面
與平面
所成的銳角為
，若存在，確定的值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱錐
中，
是邊長為
的正三角形，點
為正方形
的中心，
為線段
的中點，
.則下列結論正確的是（ ）
A.平面
平面
B.直線
與
是異面直線
C.線段與的長度相等
D.直線
與平面所成的角的余弦值為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為3的正方形，
，
，EF到平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積V為（ ）
A.
B.5C.6D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的方程為
，過點
的直線
的參數方程為
（
為參數）.
（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線與曲線交于
、
兩點，求
的值，并求定點
到，兩點的距離之積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某項競賽分為初賽、復賽、決賽三個階段進行，每個階段選手要回答一個問題．規定正確回答問題者進入下一階段競賽，否則即遭淘汰．已知某選手通過初賽、復賽、決賽的概率分別是
且各階段通過與否相互獨立．
(1)求該選手在復賽階段被淘汰的概率；
(2)設該選手在競賽中回答問題的個數為ξ，求ξ的分布列與均值．
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