Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）依題意，，故原不等式可化為，記，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可證明不等式成立；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，記，對(duì)函數(shù)記再求導(dǎo)，然后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析：

（1）依題意，，故原不等式可化為，因?yàn)?/span>，只要證.

記，則.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

∴，即，原不等式成立.

（2）.

記

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，.

∴存在唯一，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng).

①若，即時(shí)，對(duì)任意，此時(shí)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；

②若，即時(shí)，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，.即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；

③若，即時(shí)，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，.即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減：此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以，顯然在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；此時(shí)有一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，對(duì)任意，從而，而對(duì)任意.

∴對(duì)任意.

此時(shí)令，得；令，得.

∴在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；此時(shí)有一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).

（ⅳ）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，對(duì)任意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

此時(shí)令，得；令得.

∴在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；此時(shí)有一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).

綜上可得：①當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn).