Question

【題目】設函數f（x）=（1-x2）ex．

（1）討論f（x）的單調性；

（2）當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）上單調遞減，在（-1-，-1+）上單調遞增；（2）[1，+∞）.

【解析】試題分析：（1）求導，令，求出極值點，利用導函數的符號，即可求出的單調性；（2）先化簡，由，對分類討論：①當時，構造新函數，再對求導，得的單調性，即可得的取值范圍；②當時，構造新函數，得的單調性，再由試根法即可得出結論；③當時，利用試根法即可得出結論；然后得出的取值范圍.

試題解析：（1）因為f（x）=（1-x2）ex，x∈R，

所以f′（x）=（1-2x-x2）ex，

令f′（x）=0可知x=-1±，

當x＜-1-或x＞-1+時f′（x）＜0，當-1-＜x＜-1+時f′（x）＞0，

所以f（x）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）上單調遞減，在（-1-，-1+）上單調遞增；

（2）由題可知f（x）=（1-x）（1+x）ex．下面對a的范圍進行討論：

①當a≥1時，設函數h（x）=（1-x）ex，則h′（x）=-xex＜0（x＞0），

因此h（x）在[0，+∞）上單調遞減，

又因為h（0）=1，所以h（x）≤1，

所以f（x）=（1-x）h（x）≤x+1≤ax+1；

②當0＜a＜1時，設函數g（x）=ex-x-1，則g′（x）=ex-1＞0（x＞0），

所以g（x）在[0，+∞）上單調遞增，

又g（0）=1-0-1=0，

所以ex≥x+1．

因為當0＜x＜1時f（x）＞（1-x）（1+x）2，

所以（1-x）（1+x）2-ax-1=x（1-a-x-x2），

取x0=∈（0，1），則（1-x0）（1+x0）2-ax0-1=0，

所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；

③當a≤0時，取x0=∈（0，1），則f（x0）＞（1-x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；

綜上所述，a的取值范圍是[1，+∞）．